概念

算法复杂度是算法分析里的概念（对应到SICP里的增长阶），是衡量计算资源消耗数量（例如计算时间，存储器使用等）的指标。

算法的复杂度在理论上表示为一个函数：其定义域是输入数据的长度（通常考虑任意大的输入，没有上界），值域通常是执行步骤数量（时间复杂度）或者存储器位置数量（空间复杂度）。

这个函数形如：

R(n) = Θ(f(n)) 亦可记做 O(f(n))

f(n) 就是被度量的算法主体；算法的复杂度标记就是大O（Θ读做theta），这种记法称为大O表示法。

常见复杂度级别

• Θ(1) 常数级别
• Θ(log(n)) 对数级别
• Θ(n) 线性级别
• Θ(n*log(n)) 线性对数级别
• Θ(n^2) 平方级别
• Θ(2^n) 指数级别
• …

直观感受

基于规模n 各级别算法 与 复杂度 的关系：

各种排序算法的复杂度：

例子

求幂算法 b^n（b的n次方），如果使用递归的形式来表达，有：
b^n = b * b^(n-1)
b^0 = 1

我们用 Racket 将它翻译为如下过程：

可以看出，对于任意的输入规模 n，它都是线性的递归计算（线性递归），时间和空间复杂皆为 Θ(n)。

我们知道，有限递归算法都可以优化成线性迭代形式，于是就有了：

不难发现，这个算法的时间复杂度还是线性的，变换成迭代形式后，优化的是空间复杂度（Lisp是应用序求值，即调用函数时会先求值参数而后应用；结合递归算法，就有一个展开的空间开销），降至了 Θ(1)。

还有优化的余地，因为，幂函数可以表示为：

b^n = (b^(n/2))^2 当n是偶数时
b^n = b * b^(n-1) 当n是奇数时

所以，算法可以通过迅速降幂，优化成对数级别：

时间和空间上复杂度皆为 Θ(log(n))。

所以，递归就一定比迭代算法慢吗？未必~

引用

1. http://bigocheatsheet.com/
2. https://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book.html

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